复数域在图像处理中的应用

华北电力大学本科卒业策画（论文） PAGE PAGE I 摘 要 图像瓜分，正如字面上所领略的，对图像消息举办分块，并获得己方所需求的那一块。图像瓜分是图像理会治理的主要闭节。为了能更好的领略与理会，和治理图像，加倍是己方感有趣的那一块，咱们离不开图像瓜分。它将原始图像，通过主意识别，成婚，提取，丈量参数后，找处处理的基础对象所正在。 若何正在图像中出现出其是否是匀称的、是粗陋的又或者是详尽的？为了区别图像，咱们引入图像纹理特色，它是图像的自己属性。正在灰度的转折历程中，通过统计转折，空间中，图像的纹理特色也爆发相应的变更。由此可知，纹理特色是指图像内所含有的，必定区域内的，按必定次序酿成的或者周期陈列的，小形势区域块。 傅里叶变换，就宛如治理信号，把图像从“空域”变为“频域”。正在一幅图像中，其细节以及纹理特色消息正在频谱图的高频率局限透露出；低频局限代外了图像的轮廓消息。若咱们将一幅细腻的图像通过低通滤波器变换，那么图像经由变换后的结果就剩下了轮廓。这与信号治理的基础思思是相通的。咱们就可能用滤波器来复原噪点刚好位于图像的某个特定“频率”限制内的图像。 本文首要是对图像举办傅里叶变换理会并比照Gabor变换和脊波变换。 要害词：图像治理，傅里叶变换，复数域，纹理特色 ABSTRACT Image segmentation refers to the image into various characteristics of the region and extract the target of wich we are interest in.The first step to understand and analysis a image is to make a image segment, the need for image object extraction, measurement and it makes the expression of the target feature extraction, parameter measurement of the original image is the foundation of the image analysis and understanding. Texture refers to the shapes that exist within a certain range of the image,usually is very small,semi-periodic or regular arrangement of the pattern. For same phenomenon, texture is used in image interpretation of meticulous and rough.Texture is one of the main features of image processing and pattern recognition.The texture feature is the image gray level changes,such changes and statistics will be concerned.Image texture features reflect the properties of the image itself,contribute to the distinction between images. As one-dimensional signal processed,Fourier transform trans the image from the airspace tofrequency.For a picture,high-frequency part represents the image detail and texture information;low-frequency part represents the outline of the image information.For example,a fine image processed with a low pass filter,then filtering the result to the rest of the silhouette.This is the basic idea of the signal processing are interlinked.If the image is subject to a noise just in a specific frequency range,it can pass through the filter to restore the original image. This article is mainly for image Fourier transform analysis and process with Matlab. KEY WORDS：Image process, Fourier transform, Complex Unit,texture feature, 目 录 TOC \o 1-3 \h \u 10503 摘 要 I 28385 ABSTRACT II 11608 第一章 绪论 4 2259 1.1选题后台和意思 4 7406 1.2邦外里研商近况 4 27494 1.3 策画（论文）的首要研商内容及预期主意 5 9300 第二章 纹理特色 1 32382 2.1 纹理 1 19281 2.2 基于纹理特色的形式 2 21586 2.2.1 信号治理形式 2 9870 第三章 复数域上的Fourier变换 3 29967 3.1 Fourier变换 3 21278 3.2 Gabor变换 4 20650 3.2.1 Gabor变换界说式 4 29579 3.2.2 窗口的宽高闭联 5 20554 3.2.3离散Gabor变换的平常求法 5 25116 3.2.4 Gabor变换的解析外面 6 3049 3.2.5 合用前提 6 10857 3.2.6 行使 6 3618 3.3脊波变换 7 11389 3.4 Radon、Fourier和Ridgelet变换的闭联 8 8005 第四章 复数域上的图像治理估量机实施 9 7700 4.1 实施情况 9 6690 4.2傅里叶变换的MATLAB实施 9 694 4.3 Gabor变换及脊波变换 9 8243 第五章 总结 11 14781 参 考 文 献 12 28683 致 谢 13 第一章 绪论 1.1选题后台和意思 数字图像治理技巧是一门众界限的，交叉型学科。正在微电子技巧以及数字技巧飞速发达的即日，图像理会和治理已然酿成了一门繁复的科学系统，正在其不长的发达过程中，经由各个界限的平凡应用与更始，图像治理的外面与实施新思绪源源持续。视觉，人类的精神之窗，人类感知的第一步。为了餍足人们日益增加的需求，加倍是“估量机”、“生物医学”等学科方面的专业行使，使“大气科学”、“地舆科技”等界限获得了尤其切确的描绘，使得这门技巧成为了稠密专家的特意技巧。 从二十世纪七十年代末到现正在，图像治理技巧获得了长足的发达，展示了很众图像治理干系的新外面、新形式，然而，可惜的是基础上每种图像治理形式都只可行使于少少特定的题目处置。早期展示了少少经典的如阈值化等等治理形式，这些治理形式首要基于简便的边沿和灰度等根本常识。跟着待处置题目繁复水准的提升，越来越众的专业常识行使到图像治理中来，这些专业常识首要是指人们对主意提取的领略。 为了使图像治理历程的尤其智能化，自适当化，同时将图像治理专业常识让更众人所认知，正在此，我将通过图像治理信号变换的形式举办实施行使。让专业的常识获得普及，从而餍足通常存在中人们对图像消息举办尤其详尽深切的治理，使人们的物质文明存在尤其丰饶。 1.2邦外里研商近况 从二十世纪萌芽的图像干系技巧，自1990年此后，数字图像治理技巧迅猛发达。因为图像内的像素值正在相邻区域内具有主要的本质：（1）纷歧连和（2）相通（像素间相通，像素正在区域边沿又每每纷歧连）；从而，正在实施和更始的双向驱动下，专业技巧获得了更的确的改造，如小波理会，隐隐聚类，Gabor滤波变换，基于Bregman 的纹理瓜分图像的形式等等；其首要可分为：“阈值、边沿和区域”之间的瓜分。 现行的，正在图像的治理界限的专业技巧，越来越众的治理技巧和思思仍然获得必定的发达和平凡地应用，加倍正在纹理图像方面的行使。如正在医学诊断历程中，正在估量机的视觉后果治理中，正在遥感消息治理历程中，又有图形图像检索方面，凸显了瓜分纹理成了图像治理技巧中的第一步主要性，也是图像正在专业行使界限的根本理会。 可是，正在繁复基元同时存正在时，频域内的图像的纹理特色被出现出来的信号不滑腻、坚固；并且正在特色的限制性下，其偏向性和频谱特征受到强大控制。 为此，咱们引入频域和时域都较高的、同时餍足纹理特色的变换器械 ——Fourier变换。 高的韶华和频率别离率正在纹理瓜分治理图像时，所采用器械应同时具备，这就央浼图像消息治理历程中，要抵达高频的特色。每每理会和治理信号形式是傅立叶变换，傅里叶变换是个很是主要的器械[21]。 目前，Fourier变换是平常的信号理会和治理的主要器械。信号治理中的Fourier形式仍然平凡行使于医学，加倍正在乳房肿瘤的纹理切片识别检测方面获得更众更专业，尤其的确的实施。 Gabor变换是继Fourier变换之后的一个奔腾，它给很众干系界限带来了新思思，供给了有力器械。正在持续的实施历程中，人们的需求进一步饱励了傅里叶变换的发达，近年来，跟着研商的希望，脊波( Ridgelet ) 变换正在瑰异性和众标准理会上据有较大上风，能使图像治理得尤其疏落，具有偏向梯度，填补了Gabor的限制。因为其自己具有众学科连合互相、互相渗出的特色，而且正在各个专业界限内都有相应的研商功效和冲破，脊波理会的发达饱励着很众其它学科和干系界限的发达。脊波变换正在各专业界限内，常常有新的研商功效，都邑受到各界的平凡眷注，加倍正在图像治理的行使上更是这样。Gabor变换片面化韶华理会，图形边沿检，地动勘察反射波的处所等消息极主要，而脊波变换更侧重于纹理条纹的治理。 图像瓜分是一项很清贫的技巧活，为了抵达医学诊断所需求的精度，现正在盛行的主动瓜分算法仍然不行餍足需求。 图像瓜分除了切实性外，近年来，应用户明白，并指挥用户举办交互治理图像成为盛行发达趋向和研商偏向。 图像的治理，正在于其数字图像所蕴涵的数字消息以及转换为数字消息后有效的数字信号，其繁复性裁夺了现正在盛行的算法优化重构以及可视化等干系研商的发达[22]。 1.3 策画（论文）的首要研商内容及预期主意 本论文首要分为4个局限。 正在本文第一局限，先容了图像治理的后台常识及干系观念，并由绪论局限举办现阶段图像治理近况及发达偏向。 正在第二局限，纹理是图像的首要构成局限。复数域上纹理特色界说及干系本质正在傅里叶变换乃至Gabor变换、脊波变换都有主要相闭。 正在本文第三局限，我将先容复数域上基于纹理图像治理傅里叶形式。 正在本文第四局限，我将用matlab中的图像治理器械举办实施，并对现行的复数域上的图像治理变换形式举办比照研习。 PAGE PAGE 13 第二章 纹理特色 2.1 纹理 平常的，关于数字图像，咱们通过对其应用估量机干系软件举办理会，获得己方思要的干系图像量化，这个历程称之为图像治理。其首要对象泉源于扫描仪，摄影机等影像拍摄、存储、读取以及治理筑立。 通过数字化治理，咱们获得图像的干系的量化消息，这些消息组成相应的数组，也便是咱们正在通常存在中所提及的像素，图像的灰度值便是其像素值。 Image剖判算法被平凡的行使到图像治理的许众界限中，它对压缩、特色提取以及高动态限制图像压缩等各式行使都具用很是主要的意思。正在必定的意思下，Image剖判算法将一张图像剖判成若干图层，正在这里，咱们粗劣划分为注脚边境和色调的构造层S和涌现丰饶纹理消息细节转折细节层D两层： I(P)=S(p)+D(p) （2-1-1） 构造层响应了图像边境和明暗色调，而细节外达了图像中丰饶的细节转折和纹理[5]。 正在图像中，相邻闭联的像素点之间，它们举办着蓄志义的转折——亮度转折。以是，百般各样的纹理图正在转折图像中也许获得充足的涌现。即使纹理是转折的，是不联合的，的确再现正在其灰度品级上，然而，人们照样可能通过统一区域举办划分。（少少研商职员以人的视觉体系来描绘纹理）。 像素的空间分散直接影响着纹理图像，同时，该空间的闭联也受到纹理图像的基元巨细，类型职掌。以是，所正在区域的纹理图像（相当于）别离率属性的特色是大于必定水准的同质化空间。 纹理图像是由该区域中，基元个数裁夺的。含有巨额的基元，那么，纹理消息才华被感知；反之，低于必定数目的基元，只可被识别作可数对象。 实在，图像的纹理正在转折的标准和别离率下均能被感知。就像一个细胞群，咱们假如正在用显微镜寓目时应用低倍镜，那么咱们将看到大批细胞，而非单个细胞的内部构造，即无法从细节上寓目；若应用高倍镜举办寓目，正在视野内的细胞数目不光并且能看清其纹理细节。 由此可知，差别的寓目隔绝或者差别的寓目角度，对纹理的体现也有影响。当咱们用高倍镜寓目时，细胞内部透露出同质区域，这些组成了纹理的基础元素。 2.2 基于纹理特色的形式 咱们正在此次实施历程中，研商图像基于纹理特色的治理形式首要为信号治理技巧。当然，正在其他干系的界限内，咱们的统计理会形式又有几何形式以及要害点形式都仍然获得相当广的行使。为了使群众明白复数域上的图像治理行使道理，咱们正在此只将解其守旧的fourier变换形式。 2.2.1 信号治理形式 信号治理正在数学和理化的根本上获得了的确的历程。咱们通过信号爆发后，正在其传输历程中，吸取消息并滤噪或者抗搅扰，再转换为咱们的数字消息，举办存储和读取，以期获得咱们思要的目标——削弱或者消弭信号中的冗余消息。基于纹理特色的信号治理形式有许众，这里先容守旧Fourier变换道理。 2.2.1.1 Fourier变换 最初，正在Fourier变换提出之前，咱们只可上用z=f（x，y）的映照闭联来体现位图，这逐一对应的映照点，构成了一个二维矩阵。正在实际存在中，咱们的空间是三维的，而图像确实通过采样酿成的二维矩阵，为此，咱们引入梯度这一维度。简便的二维矩阵，通过复数域的引入，从而尤其的确。富饶梯度，角度，维度等等可能量化的消息供人们举办理会治理。 梯度，不光是纹理转折激烈水准的目标，也指频率。 图像傅里叶，是将某函数瓜分成一系列周期函数，然后通过其具有周期等本质举办治理。Fourier变换和他的逆变换历程，是将图像完毕正在空间域和频域之间互相转换。 Fourier变换能量变换及其分散情状，解说了纹理的粗陋和其具有偏向性。 复数域上的Fourier变换 3.1 Fourier变换 相通的，图像经由映照，正在复数域上，咱们将其记为 又由于当时， 则有 （图3-1-1） 如图（3-1-1）所示由此，咱们创设起一个二维复平面内，图像点与复数的逐一映照闭联。 那么正在二维的图像中，数据透露出离散，乌七八糟，此时，fourier变换功用获得很好的再现，其离散的的傅里叶变换为 正在频域内，设复数域上的函数F(u,v)为图像谱，那么参数u、v就折柳对应于空间域上的的横纵坐标轴，即x轴和y轴。那么关于某一图像f(x,y)，通过fourier变换后，映照到复数域上的图像。 能量谱 相位谱 振幅谱 实部和虚部。 正在复数域上，fourier变换的共轭对称性获得很好的出现。 解说，其对称中央是图像原点。 功率谱 当功率谱分量为0时，图像斗劲滑腻，平整。 大周期的同色变换时，图像所透露出鲜明的纹理线条，同时，正在信号频域内，其正在低频局限，能量斗劲咸集。反之，繁复的颀长线条则，高频段则有相应的显示。 3.2 Gabor变换 1946年，为了不光响应信号的举座性（时域和频域），正在信号餍足安定的条件下，D.Gabor提出了Gabor变换，这对经典的Fourier变换是一次庞大的改革。 由式（3-1-6）可知，需获得时域内，信号的全部消息，才华举办Fourier变换，并研商那时域内信号的频谱特征。不光这样，又因为Fourier变换具有周期性等特色，若使信号正在某一邻域内，某偶尔刻爆发转折，那么一切频谱图将受到庞大影响。然而，频谱的转折，却不行响应出信号爆发转折的的确韶华处所，尤其没有设施描绘该转折爆发的激烈水准。由此解说，信号的自己属性——中齐性，Fourier变换对其不敏锐，正在片面内，频谱消息无法获得很好的描绘。如，讲话，音乐信号等。即：复数域上片面化韶华理会，图形边沿检，地动勘察反射波的处所等消息极主要[13]。 为了使片面化消息获得更好地描绘、描写，一种复数域上的新变换形式发作。 3.2.1 Gabor变换界说式 正在Fourier变换的根本上，咱们对其出席窗函数，由此来更好地明白图像信号正在时域上的单元消息。 设函数f为的确的高斯函数，且，则Gabor变换界说为 此中，，是高斯函数，称为窗函数。且a

0,b

0. 是一个韶华片面化的“窗函数”。此中，参数b用于平行转移窗口，以便于笼罩一切时域。 对参数b积分，则有 信号的重构外达式为 引入窗函数后，正在时域和频域内，Gabor变换，完毕结果部化，窗口化的主意。设单元函数，由高斯函数本质可知，一个高斯函数通过Fourier变换，其结果获得的将照样高斯函数。以是，其逆变换也正在时域和频域内完毕片面化。再有，Gabor变换，为Fourier变换完毕了窗口最优，实在际是通过划分信号为较小韶华区域，然后正在每个时域内，再用Fourier变换举办治理。云云，从时域到频域，Fourier变换才真正处置了其片面理会的目标。 总之，正在时域和频域内，通过可滑动的窗函数，咱们也许明白到图像的片面消息。 3.2.2 窗口的宽高闭联 经外面推导可能得出：高斯窗函数前提下的窗口宽度与高度，且积为一固定值。 矩形韶华――频率窗：宽为，高。 由此，Gabor变换其坏处正在于：窗函数正在被选定后，瓜分开了频域与窗口形势的内正在相闭，时域频域窗口形势将是依旧稳定的。以是，正在变换历程中，Gabor无法再现出信号正在一切复数域内的特征，这就将以致信号源消息频谱失真。假若为了使消息不丧失，肯定加大了图像治理历程中的储蓄量和估量量，使算法变得繁复，也倒霉于职掌变量。 3.2.3离散Gabor变换的平常求法 3.2.3.1起首选择核函数 可遵照本质需求选择妥善的核函数。如高斯窗函数； 则其对偶函数为 2.2.3.2离散Gabor变换的外达式 此中， 是的对偶函数，二者之间有如下双正交闭联。 3.2.4 Gabor变换的解析外面 Gabor变换的解析外面便是由g(t)求对偶函数的形式。 界说g(t)的Zak变换为 可能阐明对偶函数可由下式求出： 有了对偶函数可能使估量更为简略容易。 3.2.5 合用前提 临界采样Gabor开展央浼前提：TΩ=2π； 过采样开展央浼前提：TΩ≤2π； 当TΩ＞2π时，欠采样Gabor开展，已阐明会导致数值上的不坚固。 3.2.6 行使 3.2.6.1暂态信号检测 咱们每每应用Gabor 变换，对信号做切确的检测统计丈量。但是，这就对应用者对信号的波形图要有必定的外面根本常识，并且也许自行采选吻合前提的基函数。 3.2.6.2图象理会与压缩 图像理会与压缩使二维的Gabor变换尤其的确。 3.3脊波变换 自然图像中蕴涵有巨额的纹理特色，线瑰异性出现斗劲出色，Gabor变换不行抵达最优的迫近。为了抑制Gabor变换的限制性和固定性，一种新的众标准变换——脊波变换(Ridgelet Transform)，正在Candes等人的研商功效中得以提出。 3.3.1 Ridgelet 变换的界说 3.3.1.1 一维Ridgelet变换 引入函数集： 是d 维空间的单元球面。记众维空间的Fourier 变换为： 界说3.3.1：取一滑腻的一元函数： 此中并餍足同意前提： 界说一个众元函数： 它被称为前提同意的情状下发作的脊。此中a是一个已知参数周围脊，同样的，u、b折柳为偏向和滑动参数。它是一种非判袂变量，基础函数爆发器，可能发作一组面向对象的脊波族。 图3-1 给出Ridgelet的几种花式的图解，此中 脊波（Ridgelet）变换是正在Gabor变换的片面化根本上，增加了具有识别偏向和采选偏向的材干。脊波变换的性质，首要是正在基于Gabor函数上，增加一个参数，该参数具有偏向性。 自E.J Candès始，经由众界限，深切实施，脊波变换其外面框架被搭筑正在经典的Fourier变换根本上。功夫，有小波理会的发达，也有Gabor变换的更新，最终，正在高维复数域上，能抵达片面时频理会，且抑制Gabor窗函数的亏空。假如图像含有鲜明纹理特色、丰饶，用脊波变换体现为尤其松散、疏落。 3.4 Radon、Fourier和Ridgelet变换的闭联[10] 复数域上的图像治理估量机实施 4.1 实施情况[15] 操作体系：windows vista 1G内存，1.8Ghz 操作软件：MATLAB7.0 （Windows Vista体系下以Windows Vista（Service Pack 1）兼容形式运转） 途径筑设：file→set path→add folder...选中ridgelet_transform文献夹(含fftshift.m文献）和Gabor_filter文献夹设为默认。 图像需求：纹理图像 LENA.BMP 4.2傅里叶变换的MATLAB实施 设图像中一点的值为f（x,y），那么，遵照第一章所说，其代外了像素值，同时也体现为该点灰度值。也便是说，正在图像治理历程中，第一步，便是将图像举办数字化，逐一对应到函数图像复数域上的点集，云云，图像就转换为咱们所熟知的，简便的数学数据，便于咱们运算理会。同时，以数据的格式对图像举办压缩，存储和传输应用，将视觉性向数字记实性转换，极大的简化的图像的读取和存储历程，通过各项变换，将图像噪点和杂质消弱，正在掩护人的睹识的同时极大的丰饶了人们对繁复图像的需求。 Matlab的器械库内，仍然含有fourier变换及其逆变换，经典的fourier形式仍然酿成成熟的代码法式，筑设正在器械库中，正在此不做赘述。 4.3 Gabor变换及脊波变换 Gabor变换片面化韶华理会，图形边沿检，地动勘察反射波的处所等消息极主要，而脊波变换更侧重纹理条痕的治理[16]。 Gabor变换Gabor filter 原图 带噪 去噪图 映照图O-R 实部 虚部 脊波变换： 原图 含噪图像 Ridgelet去噪 PSNR＝20.57dB PSNR＝24.88dB 图像含有鲜明纹理特色、丰饶，较Gabor变换，用脊波变换体现为尤其松散、疏落。 总结 实行结果注脚，脊波变换比Gabor尤其适合体现线状特色，可能将其用于巩固图像中衰弱以至人眼弗成辨的线性消息。 本文通过复数域上的图像治理变换形式（以傅里叶变换为主线），比照实行纹理特色识别出色情状从而获得相应的结论。 然而，正在本次策画中，依旧存正在诸如参数敏锐度，图像选择的题目。正在此后的实行历程中，我将依旧苛谨的科学立场对付每一个参数。 正在估量机技巧飞速发达的即日，正在黎民物质存在豪阔，精神需求尤其要紧的即日，守旧的傅里叶变换形式仍然不行餍足更为丰饶的图像治理。基于傅里叶变换，脊波变换和Gabor变换其切确度和界限尤其的确。可是，依旧没能餍足正在电子产物（诸如平板电脑，智在行机等等）为平台下，人们对图像治理的交互性需求。[17] 参 考 文 献 [1] G. 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